Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Então, temos o exercício de calcular o limite
. Vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e trigonométricas para resolver isso. Precisaremos entender como o logaritmo natural e a função seno se comportam quando
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
é a função logarítmica natural, e ela cresce sem limites à medida que
aumenta. Ou seja:
Isso significa que, à medida que
fica cada vez maior,
também cresce sem parar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função seno,
, onde
. A função seno tem um comportamento oscilatório, repetindo seus valores entre -1 e 1 periodicamente. Mesmo que o argumento
cresça indefinidamente, o seno continuará a oscilar sem se estabilizar:
Portanto, à medida que
tende ao infinito,
não se aproxima de nenhum valor específico, mas continua a oscilar.
Passo 4
Como
não se aproxima de um único valor quando
tende ao infinito, podemos concluir que o limite não existe. Isso acontece porque a função não se estabiliza em nenhum ponto específico, mas continua variando entre -1 e 1.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites pelo método do conjugado:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: