Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular o limite . Vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e trigonométricas para resolver isso. Precisaremos entender como o logaritmo natural e a função seno se comportam quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que é a função logarítmica natural, e ela cresce sem limites à medida que aumenta. Ou seja:
Isso significa que, à medida que fica cada vez maior, também cresce sem parar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função seno, , onde . A função seno tem um comportamento oscilatório, repetindo seus valores entre -1 e 1 periodicamente. Mesmo que o argumento cresça indefinidamente, o seno continuará a oscilar sem se estabilizar:
Portanto, à medida que tende ao infinito, não se aproxima de nenhum valor específico, mas continua a oscilar.

Passo 4

Como não se aproxima de um único valor quando tende ao infinito, podemos concluir que o limite não existe. Isso acontece porque a função não se estabiliza em nenhum ponto específico, mas continua variando entre -1 e 1.

Resposta

O limite não existe.

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