Calcule os seguintes limites: lim x infty ln (x+1x-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando tende ao infinito de . Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e limites, que são conceitos de cálculo. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo e analisar o comportamento dela quando fica muito grande.

Passo 2

Vamos olhar para a fração dentro do logaritmo: x+1x-1 = x(1 + 1x)x(1 - 1x) = 1 + 1x1 - 1x . Quando tende ao infinito, tanto o quanto o crescem muito, mas o que importa é como eles crescem em relação um ao outro. Podemos dividir o numerador e o denominador por para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1 + 01 - 0 = 11 = 1 tende ao infinito. As frações no numerador e no denominador se aproximam de zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande resulta em algo próximo de zero. Então, a expressão fica:

Passo 4

Então, o limite da fração ln(x+1x-1) to ln(1) quando tende ao infinito é 1. Agora, precisamos calcular o logaritmo natural desse limite:

Passo 5

Sabemos que o logaritmo natural de 1 é igual a zero, ou seja, 0 . Portanto, o limite final é:

Resposta

O limite é igual a 0.

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