Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
tende ao infinito de
. Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e limites, que são conceitos de cálculo. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo e analisar o comportamento dela quando
fica muito grande.
Passo 2
Vamos olhar para a fração dentro do logaritmo:
. Quando
tende ao infinito, tanto o
quanto o
crescem muito, mas o que importa é como eles crescem em relação um ao outro. Podemos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. As frações
no numerador e no denominador se aproximam de zero, porque qualquer número dividido por um número muito grande resulta em algo próximo de zero. Então, a expressão fica:
Passo 4
Então, o limite da fração
quando
tende ao infinito é 1. Agora, precisamos calcular o logaritmo natural desse limite:
Passo 5
Sabemos que o logaritmo natural de 1 é igual a zero, ou seja,
. Portanto, o limite final é:
Resposta
O limite é igual a 0.
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