Calcule os seguintes limites: lim x infty(x+2x+1)^3 x+4

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites de funções com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a base da expressão x+2x+1 = x(1 + 2x)x(1 + 1x) = 1 + 2x1 + 1x . Quando 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Assim, a base tende a:

Passo 3

Agora, temos uma expressão da forma limx to infty (1 + ax)^bx = e^ab elevada a algo que tende ao infinito ( 1 + (2x - 1x) = 1 + 1x ). Para resolver esse tipo de limite, usamos a propriedade:
Vamos reescrever nossa expressão nessa forma. Observando a base , podemos aproximar para:

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada, identificamos limx to infty (1 + 1x)^3x + 4 = e^1 times 3 = e^3 e . Substituindo na fórmula:

Resposta

O limite é .

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