Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites de funções com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a base da expressão . Quando tende ao infinito, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Assim, a base tende a:

Passo 3

Agora, temos uma expressão da forma elevada a algo que tende ao infinito ( ). Para resolver esse tipo de limite, usamos a propriedade:
Vamos reescrever nossa expressão nessa forma. Observando a base , podemos aproximar para:

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada, identificamos e . Substituindo na fórmula:

Resposta

O limite é .

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