Calcule os seguintes limites: lim x 2+(12-x-38-x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo frações e limites no infinito. Para resolver, vamos precisar manipular as frações para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma única expressão. Para isso, encontramos um denominador comum, que é o produto 12 - x - 38 - x^3 = (8 - x^3) - 3(2 - x)(2 - x)(8 - x^3) . Assim, reescrevemos a expressão:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
(8 - x^3) - 3(2 - x) = 8 - x^3 - 6 + 3x = 2 - x^3 + 3x
Então, a expressão fica:
2 - x^3 + 3x(2 - x)(8 - x^3)

Passo 4

Perceba que o numerador 2 - 8 + 6 = 0 pode ser fatorado. Testando 2 - x^3 + 3x = - (x^3 - 3x - 2) = - (x - 2)(x + 1)^2 , verificamos que:
- (x - 2)(x + 1)^2 (2 - x)(8 - x^3) = (x + 1)^2 (2 - x)(4 + 2x + x^2) cdot (-1)
Isso indica que é um fator. Fazendo a fatoração:
Substituindo na expressão original:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite conforme lim x 2+(12-x-38-x^3) = 90^- cdot 12 cdot (-1) = +infty :
  • se aproxima de .
  • se aproxima de (negativo).
  • se aproxima de .
Portanto:

Resposta

O limite é .

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