Calcule os seguintes limites:
e) lim x 2 x^2-4raizx+2-raiz3 x-2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites que resultam em formas indeterminadas. Precisaremos manipular a expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite resulta em uma forma indeterminada. Substituindo 2^2-4raiz2+2-raiz3 cdot 2 -2 = 4-4raiz4-raiz4 = 00 :
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para resolver expressões com raízes, uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de x^2-4raizx+2-raiz3x-2 cdot raizx+2+raiz3x-2raizx+2+raiz3x-2 é . Então, vamos multiplicar:

Passo 4

Multiplicando o numerador:
(x^2-4)(raizx+2+raiz3x-2)
E o denominador, usando a diferença de quadrados:
(raizx+2)^2 - (raiz3x-2)^2 = (x+2) - (3x-2) = -2x +4
Então, a expressão fica:
(x^2-4)(raizx+2+raiz3x-2)-2x +4

Passo 5

Podemos fatorar o numerador x^2-4 = (x-2)(x+2) como uma diferença de quadrados:
(x-2)(x+2)(raizx+2+raiz3x-2)-2x +4
Substituindo na expressão:

Passo 6

Observe que (x-2)(x+2)(raizx+2+raiz3x-2)-2(x-2) = (x+2)(raizx+2+raiz3x-2)-2 . Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos (2+2)(raiz2+2+raiz3 cdot 2 -2)-2 = 4(raiz4+raiz4)-2 = 4(2+2)-2 = 4 cdot 4-2 = 16-2 = -8 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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