Mostre que a função
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
e justifique se
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que a questão quer é que a gente mostre que essa função não é derivável no ponto
. Além disso, também precisamos esboçar o gráfico da função e verificar se ela é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de entender como trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda e pelo lado direito no ponto coincidem e são iguais ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Como os dois limites são iguais a 3 e
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se a função é derivável em
. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos a derivada para
:
Agora, para
:
Então, a derivada pela esquerda (
) é 2 e pela direita (
) é -1. Como 2
-1, as derivadas não são iguais. Portanto, a função não é derivável em
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico de
:
- Para
, a função é uma reta com inclinação 2 e intercepto 1. Então, passa pelos pontos como e . - Para
, a função é uma reta com inclinação -1 e intercepto 4. Passa por pontos como e . - No ponto
, as duas retas se encontram no ponto , confirmando a continuidade.

Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Página 163,
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Calcule os seguintes limites:
Derive as seguintes funções usando as regras de derivação