Mostre que a função
g(x) = { 2x + 1, se x < 1; -x + 4, se x ≥ 1 }
não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g e justifique se g é contínua em p = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que a questão quer é que a gente mostre que essa função não é derivável no ponto . Além disso, também precisamos esboçar o gráfico da função e verificar se ela é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de entender como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda e pelo lado direito no ponto coincidem e são iguais ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como os dois limites são iguais a 3 e , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos checar se a função é derivável em . Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos a derivada para :
Agora, para :
Então, a derivada pela esquerda ( ) é 2 e pela direita ( ) é -1. Como 2 -1, as derivadas não são iguais. Portanto, a função não é derivável em .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico de :
  1. Para , a função é uma reta com inclinação 2 e intercepto 1. Então, passa pelos pontos como e .
  2. Para , a função é uma reta com inclinação -1 e intercepto 4. Passa por pontos como e .
  3. No ponto , as duas retas se encontram no ponto , confirmando a continuidade.
Gráfico de g(x) (Nota: Insira um esboço do gráfico conforme descrito)

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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Página 163, n° 32
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