Considere a função f dada por
f(x)=(2x^2+1)/(x^2-9)
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais. Faça o estudo do sinal dessa função, isto é, diga quais são os intervalos onde ela é positiva e negativa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função dada por:
Precisamos determinar três coisas:
  1. Domínio da função: Quais valores de podemos colocar na função sem causar problemas, como divisão por zero.
  2. Assíntotas verticais e horizontais: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
  3. Estudo do sinal da função: Intervalos onde a função é positiva ou negativa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios.

Passo 2

Determinar o Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções racionais, o único problema é que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando ou . Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto e .
Domínio:

Passo 3

Encontrar as Assíntotas Verticais
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Já encontramos que o denominador é zero quando e . Agora vamos verificar o numerador nesses pontos:
Para :
Para :
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos duas assíntotas verticais em e .
Assíntotas Verticais:

Passo 4

Encontrar as Assíntotas Horizontais
Assíntotas horizontais são determinadas pelo comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios no numerador e denominador.
Aqui:
  • Grau do numerador ( ) é 2.
  • Grau do denominador ( ) é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Coeficiente do no numerador: 2
Coeficiente do no denominador: 1
Então, a assíntota horizontal é:
Assíntota Horizontal:

Passo 5

Estudo do Sinal da Função
Queremos saber onde a função é positiva ou negativa. Isso depende do sinal do numerador e do denominador.
Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador .
  • Numerador :
    • Como é sempre não negativo e somando 1, o numerador é sempre positivo:
  • Denominador :
    • Igual a zero em e .
    • Vamos analisar os intervalos:
      1. :
        • Escolha :
      2. :
        • Escolha :
      3. :
        • Escolha :
Então, o denominador é positivo quando ou , e negativo quando .
Agora, combinando os sinais do numerador e denominador:
Como o numerador é sempre positivo:
  • Quando (ou seja, ou ):
  • Quando (isto é, ):
Intervalos do Sinal da Função:
  • Positiva: e
  • Negativa:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menos e . As assíntotas verticais estão em e , e a assíntota horizontal é . A função é positiva nos intervalos e , e negativa no intervalo .

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