Considere a função
dada por
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais. Faça o estudo do sinal dessa função, isto é, diga quais são os intervalos onde ela é positiva e negativa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função dada por:
Precisamos determinar três coisas:
- Domínio da função: Quais valores de
podemos colocar na função sem causar problemas, como divisão por zero. - Assíntotas verticais e horizontais: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
- Estudo do sinal da função: Intervalos onde a função é positiva ou negativa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios.
Passo 2
Determinar o Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso das funções racionais, o único problema é que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Então, vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando
ou
. Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Domínio:
Passo 3
Encontrar as Assíntotas Verticais
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Já encontramos que o denominador é zero quando
e
. Agora vamos verificar o numerador nesses pontos:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos duas assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas Verticais:
Passo 4
Encontrar as Assíntotas Horizontais
Assíntotas horizontais são determinadas pelo comportamento da função quando
tende ao infinito ou menos infinito. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios no numerador e denominador.
Aqui:
- Grau do numerador (
) é 2. - Grau do denominador (
) é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Coeficiente do
no numerador: 2
Coeficiente do
no denominador: 1
Então, a assíntota horizontal é:
Assíntota Horizontal:
Passo 5
Estudo do Sinal da Função
Queremos saber onde a função
é positiva ou negativa. Isso depende do sinal do numerador e do denominador.
Vamos analisar os sinais do numerador
e do denominador
.
-
Numerador
: - Como
é sempre não negativo e somando 1, o numerador é sempre positivo:
- Como
-
Denominador
: -
Igual a zero em
e . -
Vamos analisar os intervalos:
-
: - Escolha
:
- Escolha
-
: - Escolha
:
- Escolha
-
: - Escolha
:
- Escolha
-
-
Então, o denominador é positivo quando
ou
, e negativo quando
.
Agora, combinando os sinais do numerador e denominador:
Como o numerador é sempre positivo:
-
Quando
(ou seja, ou ): -
Quando
(isto é, ):
Intervalos do Sinal da Função:
- Positiva:
e - Negativa:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais menos
e
. As assíntotas verticais estão em
e
, e a assíntota horizontal é
. A função é positiva nos intervalos
e
, e negativa no intervalo
.