Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre campos escalares e vetoriais, que são conceitos de cálculo vetorial. Temos um campo escalar e um campo vetorial . A pergunta quer saber se a expressão faz sentido matematicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele se aplica a diferentes tipos de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O operador gradiente, representado por ou , é usado para medir a taxa de variação de um campo escalar em todas as direções. Então, ele pega um campo escalar e retorna um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento do escalar.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que temos na expressão . Aqui, estamos tentando aplicar o gradiente a um campo vetorial . Mas, como vimos, o gradiente funciona com campos escalares, não com vetores. Aplicar diretamente a um campo vetorial não é definido na matemática padrão do cálculo vetorial.
Passo 4
Além disso, para campos vetoriais, existem outros operadores como divergente () e rotacional (), que são os análogos apropriados do gradiente para vetores. Esses operadores medem, respectivamente, a tendência de um campo vetorial de se afastar de um ponto e a tendência de girar ao redor de um ponto.
Resposta
A expressão não tem significado, porque o operador gradiente só pode ser aplicado a campos escalares, não a campos vetoriais.