Calcule os seguintes limites: lim x 0 x cos (x)-sen(x)x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 x cos (x)-sen(x)x^3. Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, mais especificamente utilizando séries de Taylor pra expandir funções trigonométricas. Precisamos entender como expandir cos(x) e em séries para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das séries de Taylor para cos(x) e em torno de sen(x):
x=0
Essas expansões nos ajudam a aproximar as funções para valores de cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots próximos de zero.

Passo 3

Vamos substituir as séries de Taylor de cos(x) e na expressão original:
Agora, distribuímos o sen(x) na primeira parte:
x cos(x) - sen(x) = x (1 - x^22 + x^424) - (x - x^36 + x^5120)

Passo 4

Simplificamos os termos semelhantes:
x - x = 0
-x^32 + x^36 = -3x^36 + x^36 = -2x^36 = -x^33
x^524 - x^5120 = 5x^5120 - x^5120 = 4x^5120 = x^530
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
lim x 0 -x^33 + x^530x^3 = lim x 0 ( -13 + x^230 )
Como x tende a 0, o termo x^230 também tende a 0.

Resposta

O limite é -13.

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