Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função dada
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função dada por
. Aqui estamos lidando com superfícies e curvas de nível, que são partes da matemática conhecidas como cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar curvas de nível e como visualizar o gráfico 3D da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que a raiz quadrada de
é igual ao valor absoluto de
, ou seja,
. Então, nossa função fica:
Passo 3
As curvas de nível são obtidas fixando
em uma constante
. Então, vamos definir
e resolver a equação:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Para que
seja um número real, o lado direito da equação deve ser não negativo:
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Isso nos mostra que para cada valor de
, a curva de nível será simétrica em relação ao eixo
e limitada por
.
Passo 6
Vamos considerar alguns valores de
para desenhar as curvas de nível:
- Para
:
válido para
.
- Para
:
válido para
.
Essas curvas têm a forma de parábolas invertidas dentro do intervalo definido por
.
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico da função
:
- Para cada valor de
, aumenta à medida que aumenta ou que aumenta. - A superfície apresenta uma forma de “V” ao longo do eixo
, devido ao termo , e é parabólica na direção de devido ao termo .
Portanto, o gráfico será uma superfície em forma de “V” estendido ao longo do eixo
, combinando a linearidade de
com a curvatura de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são parábolas simétricas em relação ao eixo
, limitadas por
para cada constante
. O gráfico da função é uma superfície em forma de “V” expandida ao longo do eixo
, combinando a direção linear de
com a curvatura parabólica de
.
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Simplifique:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Determine, se possível, as constantes
e
de modo que
seja contínua em
.