Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função dada

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função dada por . Aqui estamos lidando com superfícies e curvas de nível, que são partes da matemática conhecidas como cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar curvas de nível e como visualizar o gráfico 3D da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que a raiz quadrada de é igual ao valor absoluto de , ou seja, . Então, nossa função fica:

Passo 3

As curvas de nível são obtidas fixando em uma constante . Então, vamos definir e resolver a equação:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Para que seja um número real, o lado direito da equação deve ser não negativo:

Passo 5

Resolvendo para , temos:
Isso nos mostra que para cada valor de , a curva de nível será simétrica em relação ao eixo e limitada por .

Passo 6

Vamos considerar alguns valores de para desenhar as curvas de nível:
  • Para :
válido para .
  • Para :
válido para .
Essas curvas têm a forma de parábolas invertidas dentro do intervalo definido por .

Passo 7

Agora, para esboçar o gráfico da função :
  • Para cada valor de , aumenta à medida que aumenta ou que aumenta.
  • A superfície apresenta uma forma de “V” ao longo do eixo , devido ao termo , e é parabólica na direção de devido ao termo .
Portanto, o gráfico será uma superfície em forma de “V” estendido ao longo do eixo , combinando a linearidade de com a curvatura de .

Resposta

As curvas de nível da função são parábolas simétricas em relação ao eixo , limitadas por para cada constante . O gráfico da função é uma superfície em forma de “V” expandida ao longo do eixo , combinando a direção linear de com a curvatura parabólica de .

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Calcule os seguintes limites:
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Determine, se possível, as constantes e de modo que seja contínua em .