Calcule os seguintes limites:
e) lim x 0 x cot 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Nesse exercício, estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento das funções à medida que a variável se aproxima de um determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender as propriedades das funções trigonométricas, especialmente o cosseno e o seno, e como eles se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cot theta = cos thetasin theta é a função cotangente, que pode ser expressa como o cosseno dividido pelo seno:
lim x 0 x cot 3 x = lim x 0 x cdot cos 3xsin 3x
Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 3

Para simplificar, vamos combinar os termos:
lim x 0 x cos 3xsin 3x
Agora, queremos separar o e o de forma que possamos aplicar uma propriedade conhecida dos limites.

Passo 4

Sabemos que:
limu 0 sin uu = 1
Podemos reescrever isso como:
limu 0 usin u = 1
No nosso caso, temos , então vamos ajustar a expressão para aplicar essa propriedade.

Passo 5

Vamos reescrever o limite assim:
lim x 0 xsin 3x cdot cos 3x
Agora, podemos separar os limites, pois o limite do produto é o produto dos limites, se eles existirem:
( lim x 0 xsin 3x ) cdot ( lim x 0 cos 3x )

Passo 6

Vamos calcular cada limite separadamente. Primeiro:
lim x 0 xsin 3x
Fazendo uma substituição lim u 0 u/3sin u = 13 cdot lim u 0 usin u = 13 cdot 1 = 13 , quando lim x 0 cos 3x , lim x 0 cos 3x = cos 0 = 1 , então:
Porque sabemos que .
Agora, o segundo limite:
Sabemos que o cosseno de 0 é 1, então:

Resposta

Multiplicando os resultados dos limites:
13 cdot 1 = 13
Portanto,
lim x 0 x cot 3 x = 13

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