Calcule os seguintes limites:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Nesse exercício, estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento das funções à medida que a variável se aproxima de um determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender as propriedades das funções trigonométricas, especialmente o cosseno e o seno, e como eles se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função cotangente, que pode ser expressa como o cosseno dividido pelo seno:
Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Passo 3
Para simplificar, vamos combinar os termos:
Agora, queremos separar o
e o
de forma que possamos aplicar uma propriedade conhecida dos limites.
Passo 4
Sabemos que:
Podemos reescrever isso como:
No nosso caso, temos
, então vamos ajustar a expressão para aplicar essa propriedade.
Passo 5
Vamos reescrever o limite assim:
Agora, podemos separar os limites, pois o limite do produto é o produto dos limites, se eles existirem:
Passo 6
Vamos calcular cada limite separadamente. Primeiro:
Fazendo uma substituição
, quando
,
, então:
Porque sabemos que
.
Agora, o segundo limite:
Sabemos que o cosseno de 0 é 1, então:
Resposta
Multiplicando os resultados dos limites:
Portanto,
Exercícios relacionados
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.4)
(9.4)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, onde
,
Qual o ponto da superfície
cuja distância à origem é mínima?