Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.4) A = [[2, 4], [4, 8]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a forma quadrática associada à matriz simétrica e depois classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e análise de definitude de formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma quadrática associada à matriz . A forma quadrática é dada por:
Ou seja, multiplicamos o vetor pela matriz e depois pelo vetor .

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Primeiro, multiplicamos a matriz pelo vetor :

Passo 4

Agora, multiplicamos o vetor pelo resultado que obtivemos:
Expandindo:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Então, a forma quadrática associada à matriz é:

Passo 6

Agora, vamos classificar essa forma quadrática. Para isso, olhamos os autovalores da matriz . Como é simétrica, podemos usar os autovalores para determinar a definitude.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante :
Então, os autovalores são e .

Passo 7

Analisando os autovalores:
  • Um autovalor positivo ( )
  • Um autovalor zero ( )
Como temos pelo menos um autovalor positivo e nenhum negativo, e há um autovalor zero, a forma quadrática é positiva semidefinida.

Resposta

A forma quadrática associada é e ela é positiva semidefinida.

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