Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.4)
(9.4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e depois classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e análise de definitude de formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a forma quadrática associada à matriz
. A forma quadrática
é dada por:
Ou seja, multiplicamos o vetor
pela matriz
e depois pelo vetor
.
Passo 3
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Primeiro, multiplicamos a matriz
pelo vetor
:
Passo 4
Agora, multiplicamos o vetor
pelo resultado que obtivemos:
Expandindo:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Então, a forma quadrática associada à matriz
é:
Passo 6
Agora, vamos classificar essa forma quadrática. Para isso, olhamos os autovalores da matriz
. Como
é simétrica, podemos usar os autovalores para determinar a definitude.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 7
Analisando os autovalores:
- Um autovalor positivo (
) - Um autovalor zero (
)
Como temos pelo menos um autovalor positivo e nenhum negativo, e há um autovalor zero, a forma quadrática é positiva semidefinida.
Resposta
A forma quadrática associada é
e ela é positiva semidefinida.
Exercícios relacionados
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Calcule os seguintes limites:
e)
e)
Encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, onde
,