Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(-2 theta) - 2 r e^(-2 theta) d theta / d r = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial primeiro de verificar se ela é exata. A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente sobre EDOs exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender como testar a exatidão da EDO e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das EDOs exatas. A equação dada é:
Vamos reorganizar os termos para colocar tudo do lado esquerdo:
Podemos escrever isso na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada.

Passo 4

Primeiro, calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como , a equação é exata!

Passo 6

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 7

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 8

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:

Passo 9

Integrando :
Onde é uma constante de integração.

Passo 10

Portanto, a função potencial é:
Para encontrar a solução geral, igualamos a uma constante:

Passo 11

Resolvendo para :
Podemos reescrever como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial, se fornecida.

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