Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial primeiro de verificar se ela é exata. A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente sobre EDOs exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender como testar a exatidão da EDO e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das EDOs exatas. A equação dada é:
Vamos reorganizar os termos para colocar tudo do lado esquerdo:
Podemos escrever isso na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada.
Passo 4
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como
, a equação é exata!
Passo 6
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Passo 9
Integrando
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Portanto, a função potencial
é:
Para encontrar a solução geral, igualamos
a uma constante:
Passo 11
Resolvendo para
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial, se fornecida.