Calcule os seguintes limites: lim x 0 x cot 3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e funções trigonométricas, especificamente envolvendo a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno. A fórmula é:
cot theta = cos thetasin theta
Então, substituindo na nossa expressão, temos:
x cot 3x = x cdot cos 3xsin 3x

Passo 3

Agora, vamos reescrever isso de forma mais simples:
x cos 3xsin 3x
A ideia aqui é manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

A gente sabe que quando limx to 0 sin xx = 1 se aproxima de 0, x cos 3x3x = cos 3x3 se comporta quase como . Isso é baseado no limite fundamental:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 5

Agora, como 13 está se aproximando de 0, vai se aproximar de , que é 1. Então, nossa expressão final fica:

Resposta

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