Calcule os seguintes limites: lim x ightarrow-1x^2+3x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando $ x $ se aproxima de x da função $ \frac{x^{2} + 3}{x + 1} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como os valores da função se comportam perto de $ x = -1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x $ por x diretamente na função para ver o que acontece:
-1
Aqui, vemos que a divisão por zero não é definida, o que significa que precisamos analisar o comportamento da função perto de $ x = -1 $ de uma forma diferente.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma indeterminação ( 40), vamos analisar o limite observando como a função se comporta quando $ x $ se aproxima de x pela direita e pela esquerda.

Passo 4

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ x \to -1^+ $):
    • $ x + 1 $ está se aproximando de zero por valores positivos, ou seja, $ x + 1 \to 0^+ $.
    • O numerador $ x^{2} + 3 $ sempre será positivo, pois $ x^{2} $ é positivo e 3 é positivo.
    • Portanto, $ \frac{x^{2} + 3}{x + 1} $ está se aproximando de $ +\infty $.
  2. Quando $ x $ se aproxima de -1 pela esquerda ($ x \to -1^- $):
    • $ x + 1 $ está se aproximando de zero por valores negativos, ou seja, $ x + 1 \to 0^- $.
    • O numerador $ x^{2} + 3 $ continua positivo.
    • Portanto, $ \frac{x^{2} + 3}{x + 1} $ está se aproximando de $ -\infty $.

Passo 5

Como os limites laterais resultam em $ +\infty $ e $ -\infty $, ou seja, não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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