A força de 300 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a^prime e b-b^prime. Usando trigonometria, determine o ângulo alpha sabendo que o componente ao longo de b-b^prime é 120 N.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de decomposição de forças usando trigonometria. Temos uma força de 300 N que precisa ser dividida em duas componentes ao longo das linhas $ a - a’ $ e $ b - b’ $. Sabemos que a componente ao longo de $ b - b’ $ é de 120 N. Nosso objetivo é encontrar o ângulo $ \alpha $ entre essas duas direções. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando decompondo uma força em duas componentes, estamos essencialmente dividindo essa força em duas partes que, juntas, formam a força original. Imagine a força de 300 N como a hipotenusa de um triângulo, e as componentes de 120 N e $ F_a $ como os outros dois lados desse triângulo.

Passo 3

Sabemos que a componente ao longo de $ b - b’ $ é 120 N. Vamos chamar a componente ao longo de $ a - a’ $ de $ F_a $. A relação entre essas componentes e a força original pode ser descrita pela Lei dos Cossenos, já que temos um triângulo com um ângulo $ \alpha $ entre as componentes.
A Lei dos Cossenos é dada por:
b - b'
Onde:
  • $ |\vec{F}| = 300 , N $
  • $ F_b = 120 , N $

Passo 4

Substituindo os valores que conhecemos na equação:
300^2 = Fa^2 + 120^2 - 2 Fa times 120 times cos(alpha)
Calculando os quadrados:
90000 = Fa^2 + 14400 - 240 Fa cos(alpha)

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem $ \cos(\alpha) $:
cos(alpha)
90000 - 14400 = Fa^2 - 240 Fa cos(alpha)

Passo 6

Neste ponto, percebemos que temos duas incógnitas: $ F_a $ e $ \alpha $. Para simplificar, vamos considerar que as duas componentes são perpendiculares, ou seja, $ \alpha = 90^\circ $. Isso significa que $ \cos(\alpha) = 0 $.
Substituindo na equação:
Fa
alpha

Passo 7

Agora que temos o valor de $ F_a $, podemos usar a relação trigonométrica para encontrar $ \alpha $. Sabemos que:
Fa
alpha
Fb = F sin(alpha)

Passo 8

Para encontrar $ \alpha $, aplicamos a função arco seno:
alpha

Resposta

O ângulo $ \alpha $ entre as direções das componentes é aproximadamente $ 23,6^\circ $.

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