Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando tende a . Para isso, vamos precisar entender como se comportam os polinômios e a função cosseno nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na fração . Quando fica muito grande, os termos com potências mais altas de dominam o comportamento da expressão. Então, podemos simplificar analisando apenas esses termos principais.

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é . Ignorando os outros termos, a fração fica aproximadamente .

Passo 4

Agora, observamos que quando tende a , também tende a . Assim, tende a .

Passo 5

Em seguida, analisamos o termo . A função cosseno sempre oscila entre e , independente de como o argumento, nesse caso , se comporta. Mesmo com crescendo, continua variando entre esses valores.

Passo 6

Multiplicando a fração que tende a pela função cosseno que está entre e , o resultado total também tende a . Isso porque qualquer número multiplicado por algo que está limitado e tende a resultará em .

Resposta

Portanto, .

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