Calcule os seguintes limites: lim x 0 tg(a x)b x, com a, b neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 tg(a x)b x. Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a tangente se comporta quando seu argumento se aproxima de zero e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental na trigonometria: limx to 0 tan(x)x = 1. Isso significa que, quando está muito próximo de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 3

No nosso problema, temos tan(a x)b x = tan(a x)a x cdot ab em vez de . Podemos adaptar o limite conhecido para essa situação. Vamos reescrever a expressão original dividindo e multiplicando por :

Passo 4

Agora, analisamos cada parte separadamente:
  1. Primeira parte: limx to 0 tan(a x)a x = limu to 0 tan(u)u = 1 . Se fizermos , quando tende a zero, também tende a zero. Então, pelo limite conhecido:
  1. Segunda parte: é apenas uma constante que não depende de .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, o limite fica:
limx to 0 tan(a x)b x = 1 cdot ab = ab

Resposta

O limite é igual a ab.

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