Verifique se as seguintes funções são contínuas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntando um pouco de cálculo sobre continuidade de funções. A gente precisa verificar se a função dada, que é definida em pedaços diferentes para diferentes valores de , é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos analisar cada parte da função e também conferir se não há “saltos” nas pontas onde as definições mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada parte da função separadamente:
  1. Para , a função é . Essa é uma função polinomial, e os polinômios são contínuos em todo lugar. Então, nessa parte, não tem problema de continuidade.
  2. Para , temos . A função logaritmo natural, , é contínua sempre que o argumento é positivo. Precisamos garantir que nessa faixa:
    Como e nosso intervalo é de a , é positivo, então é contínua nesse intervalo.
  3. Para , a função é . Aqui, precisamos que o que está dentro da raiz seja não negativo:
    Como , tanto o numerador ( ) quanto o denominador ( ) são positivos, então a fração é positiva, e a raiz quadrada está bem definida. Além disso, funções de raiz quadrada são contínuas onde estão definidas, então essa parte também é contínua.

Passo 3

Agora, precisamos verificar a continuidade nos pontos de junção, ou seja, em e . Isso envolve conferir se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita nesses pontos.
  1. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Usamos
    • Limite pela direita ( ): Usamos
    • Valor da função em :
    Como todos os limites e o valor da função são iguais a 0, a função é contínua em .
  2. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Usamos
    • Limite pela direita ( ): Usamos
    • Valor da função em :
    Novamente, todos os limites e o valor da função são iguais a 0, então a função também é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todos os valores de .

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Verifique se as seguintes funções são contínuas:
Determine de forma que a função
seja contínua em .