Beleza, vamos resolver esse exercício juntando um pouco de cálculo sobre continuidade de funções. A gente precisa verificar se a função dada, que é definida em pedaços diferentes para diferentes valores de , é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos analisar cada parte da função e também conferir se não há “saltos” nas pontas onde as definições mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada parte da função separadamente:
Para , a função é . Essa é uma função polinomial, e os polinômios são contínuos em todo lugar. Então, nessa parte, não tem problema de continuidade.
Para , temos . A função logaritmo natural, , é contínua sempre que o argumento é positivo. Precisamos garantir que nessa faixa:
Como e nosso intervalo é de a , é positivo, então é contínua nesse intervalo.
Para , a função é . Aqui, precisamos que o que está dentro da raiz seja não negativo:
Como , tanto o numerador () quanto o denominador () são positivos, então a fração é positiva, e a raiz quadrada está bem definida. Além disso, funções de raiz quadrada são contínuas onde estão definidas, então essa parte também é contínua.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a continuidade nos pontos de junção, ou seja, em e . Isso envolve conferir se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita nesses pontos.
Em :
Limite pela esquerda (): Usamos
Limite pela direita (): Usamos
Valor da função em :
Como todos os limites e o valor da função são iguais a 0, a função é contínua em .
Em :
Limite pela esquerda (): Usamos
Limite pela direita (): Usamos
Valor da função em :
Novamente, todos os limites e o valor da função são iguais a 0, então a função também é contínua em .
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todos os valores de .