Calcule os seguintes limites pelo método do conjugado: lim x infty raizx+raizx-raizx-raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x infty raizx+raizx - raizx-raizx
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e vamos usar o método do conjugado para simplificar a expressão. Para isso, precisamos lembrar como multiplicar expressões com raízes para eliminar as raízes do denominador ou do numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado dela. O conjugado de raizx+raizx - raizx-raizx é raizx+raizx + raizx-raizx. Assim, temos:
lim x infty ( raizx+raizx - raizx-raizx ) times raizx+raizx + raizx-raizxraizx+raizx + raizx-raizx

Passo 3

Ao multiplicar, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Aplicando isso:
lim x infty (x + raizx) - (x - raizx)raizx+raizx + raizx-raizx
Simplificando o numerador:
(x + raizx) - (x - raizx) = 2raizx
Então, a expressão fica:
lim x infty 2raizxraizx+raizx + raizx-raizx

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Note que para x muito grande, raizx é muito menor que x, então podemos aproximar:
raizx + raizx approx raizx (1 + raizx2x) = raizx (1 + 12raizx)
E similarmente:
raizx - raizx approx raizx (1 - 12raizx)
Somando as duas aproximações:
raizx+raizx + raizx-raizx approx raizx (1 + 12raizx + 1 - 12raizx) = 2raizx

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do limite:
lim x infty 2raizx2raizx = lim x infty 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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