Calcule os seguintes limites: lim x -infty raizx^2+x+1x+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de menos infinito ( ) da expressão . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades das funções polinomiais e radicais para resolver.

Passo 2

Para resolver limites envolvendo radicais e polinômios, é útil fatorar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos . O termo de maior grau dentro da raiz é .

Passo 3

Vamos fatorar raizx^2+x+1 = raizx^2(1 + xx^2 + 1x^2) = |x| raiz1 + 1x + 1x^2 de dentro da raiz:
Como está se aproximando de , (já que é negativo).

Passo 4

Substituindo raizx^2+x+1 = -x raiz1 + 1x + 1x^2 por -x raiz1 + 1x + 1x^2x+1 na expressão, temos:
Agora, a expressão original fica:

Passo 5

Podemos simplificar o denominador x + 1 = x(1 + 1x) fatorando -x raiz1 + 1x + 1x^2x(1 + 1x) = -raiz1 + 1x + 1x^21 + 1x :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite conforme raiz1 + 1x + 1x^2 approx raiz1 + 0 + 0 = 1 tende a 1 + 1x approx 1 + 0 = 1 . Quando tende a , os termos e tendem a zero. Assim:
E:

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão simplificada:
-11 = -1
Portanto, o limite é igual a .

Resposta

lim x -infty raizx^2+x+1x+1 = -1

Exercícios relacionados