Calcule os seguintes limites: lim x infty(raizx+2-raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites no cálculo, especificamente com expressões que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar técnicas de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar a expressão . Isso significa que vamos multiplicar e dividir por seu conjugado para eliminar as raízes no numerador. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, temos:
raizx+2 - raizx = (raizx+2 - raizx)(raizx+2 + raizx)raizx+2 + raizx

Passo 4

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx+2)^2 - (raizx)^2 = (x + 2) - x = 2
Então, a expressão fica:
2raizx+2 + raizx

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador raizx + raizx = 2raizx quando tende ao infinito. À medida que fica muito grande, a constante 2 dentro da raiz se torna insignificante, então . Assim, o denominador aproximadamente será:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
22raizx = 1raizx

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Conforme cresce, também cresce sem limite, então tende a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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