Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Estamos lidando com limites que envolvem funções de crescimento à medida que
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as diferentes partes da função se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador conforme
aumenta. No numerador, temos
. A raiz quadrada de
(
) cresce, mas bem mais devagar do que
sozinho. O “+2” é uma constante, então, quando
é muito grande, essa constante se torna insignificante comparada a
.
No denominador, temos
. Aqui,
está crescendo linearmente, e o “+1” também é uma constante que se torna insignificante quando
é muito grande.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior crescimento no denominador, que é
. Isso vai ajudar a simplificar a expressão e ver qual parte realmente importa quando
vai para infinito.
Ent��o, vamos reescrever a expressão assim:
Passo 4
Agora, simplificamos cada fração:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque à medida que aumenta, também aumenta, tornando a fração cada vez menor. -
também tende a 0 pelo mesmo motivo. -
no denominador tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão, temos:
Resposta
O limite
é igual a 0.