Calcule os seguintes limites: lim x +infty raizx+2x+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Estamos lidando com limites que envolvem funções de crescimento à medida que vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as diferentes partes da função se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador conforme aumenta. No numerador, temos . A raiz quadrada de ( ) cresce, mas bem mais devagar do que sozinho. O “+2” é uma constante, então, quando é muito grande, essa constante se torna insignificante comparada a .
No denominador, temos . Aqui, está crescendo linearmente, e o “+1” também é uma constante que se torna insignificante quando é muito grande.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior crescimento no denominador, que é raizx + 2x + 1 = raizxx + 2xxx + 1x . Isso vai ajudar a simplificar a expressão e ver qual parte realmente importa quando vai para infinito.
Ent��o, vamos reescrever a expressão assim:

Passo 4

Agora, simplificamos cada fração:
raizxx = 1raizx
2x permanece assim
xx = 1
1x permanece assim
Então, nossa expressão fica:
1raizx + 2x1 + 1x

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando 0 + 01 + 0 = 01 = 0 tende ao infinito:
  • tende a 0, porque à medida que aumenta, também aumenta, tornando a fração cada vez menor.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
  • no denominador tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão, temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

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