Determine os seguintes limites:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é determinar . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm a forma , que é um caso especial de limite indeterminado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observando , podemos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que vai para o infinito, e vão para zero. Então, a fração se aproxima de . Isso nos dá uma expressão do tipo , que é indeterminada.

Passo 3

Para resolver limites que resultam em , usamos uma técnica que envolve tomar o logaritmo natural. Se chamarmos o limite que queremos encontrar, ou seja:
Então, podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Usando propriedades dos logaritmos:
Simplificando ainda mais:
Substituindo de volta:

Passo 5

Para próximo de 0, sabemos que . Aplicando isso:
Então, a diferença fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de :
À medida que vai para o infinito, vai para zero, então:

Passo 7

Finalmente, para encontrar , usamos a função exponencial:

Resposta

O limite é .

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(f) .