Determine os seguintes limites:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é determinar
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm a forma
, que é um caso especial de limite indeterminado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observando
, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
À medida que
vai para o infinito,
e
vão para zero. Então, a fração se aproxima de
. Isso nos dá uma expressão do tipo
, que é indeterminada.
Passo 3
Para resolver limites que resultam em
, usamos uma técnica que envolve tomar o logaritmo natural. Se chamarmos
o limite que queremos encontrar, ou seja:
Então, podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Usando propriedades dos logaritmos:
Simplificando ainda mais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Para
próximo de 0, sabemos que
. Aplicando isso:
Então, a diferença fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
À medida que
vai para o infinito,
vai para zero, então:
Passo 7
Finalmente, para encontrar
, usamos a função exponencial:
Resposta
O limite é
.
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(f) .
(f)