Determine os seguintes limites:
(a) lim x +infty(x-1x+3)^x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é determinar . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm a forma , que é um caso especial de limite indeterminado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observando x-1x+3 = x(1 - 1x)x(1 + 3x) = 1 - 1x1 + 3x , podemos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que vai para o infinito, e vão para zero. Então, a fração se aproxima de . Isso nos dá uma expressão do tipo , que é indeterminada.

Passo 3

Para resolver limites que resultam em L = limx to +infty (x-1x+3)^x+2 , usamos uma técnica que envolve tomar o logaritmo natural. Se chamarmos ln L = limx to +infty (x + 2) cdot ln(x-1x+3) o limite que queremos encontrar, ou seja:
Então, podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ln(x-1x+3) = ln(x - 1) - ln(x + 3) . Usando propriedades dos logaritmos:
ln(x - 1) = ln x + ln(1 - 1x)
Simplificando ainda mais:
ln(x + 3) = ln x + ln(1 + 3x)
ln(x-1x+3) = ln x + ln(1 - 1x) - ln x - ln(1 + 3x) = ln(1 - 1x) - ln(1 + 3x)
Substituindo de volta:

Passo 5

Para ln(1 - 1x) approx -1x próximo de 0, sabemos que ln(1 + 3x) approx 3x . Aplicando isso:
ln(x-1x+3) approx -1x - 3x = -4x
Então, a diferença fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de ln L = limx to +infty (x + 2) cdot (-4x) = limx to +infty -4 (1 + 2x) :
ln L = -4 cdot 1 = -4
À medida que vai para o infinito, vai para zero, então:

Passo 7

Finalmente, para encontrar L = e^ln L = e^-4 , usamos a função exponencial:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados