Calcule os seguintes limites: lim x +infty (2 x-3)^3(3 x-2)^2x^5

Passo 1

Vamos calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo dos limites em funções racionais, onde comparamos o crescimento de polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, precisamos entender como simplificar expressões com potências de e identificar quais termos dominam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os termos do numerador para facilitar a análise. Vamos calcular (2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 e (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 separadamente.

Passo 3

Agora, multiplicamos os dois polinômios resultantes:
(8x^3 - 36x^2 + 54x - 27)(9x^2 - 12x + 4)
Focando apenas nos termos de maior grau, que são os que mais influenciam o comportamento do limite, temos:
8x^3 times 9x^2 = 72x^5
Os demais termos terão graus menores e, portanto, serão menos significativos quando tende ao infinito.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, temos:
72x^5 + termos de menor graux^5
Como os termos de menor grau se tornam insignificantes para 72x^5x^5 = 72 muito grande, podemos simplificar para:

Resposta

O limite é igual a 72.

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