Escreva a definição de campo vetorial conservativo. Apresente um exemplo de campo vetorial conservativo e um exemplo de campo vetorial que não é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que definir o que é um campo vetorial conservativo, além de dar um exemplo que é conservativo e outro que não é. Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, especialmente quando a gente fala sobre campos e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo, o que envolve conceitos como gradiente e trabalho realizado por um campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Basicamente, é uma função que associa um vetor a cada ponto de um espaço. Agora, um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função escalar, chamada de potencial. Isso significa que o trabalho feito ao mover uma partícula nesse campo depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
Para ser mais técnico, um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar φ tal que:
Aqui, ∇φ é o gradiente de φ, que basicamente pega as taxas de variação de φ em todas as direções. Outra forma de identificar um campo conservativo é verificando se ele tem rotacional igual a zero:
Se o rotacional for zero, o campo não tem “rodopios” e, portanto, é conservativo.
Passo 4
Vamos dar um exemplo de campo vetorial conservativo. Pense na força da gravidade perto da superfície da Terra, que pode ser representada por:
Onde g é a aceleração da gravidade e j é o vetor unitário na direção vertical. Esse campo é conservativo porque pode ser derivado de uma função potencial, que nesse caso é a energia potencial gravitacional.
Passo 5
Agora, um exemplo de campo que não é conservativo seria um campo de força circular, como o vento girando em um redemoinho. Matematicamente, podemos representar isso como:
Esse campo tem um rotacional diferente de zero:
Como o rotacional não é zero, esse campo não é conservativo. Isso significa que o trabalho realizado por esse campo depende do caminho percorrido.
Resposta
Um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser derivado do gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função potencial φ tal que F = ∇φ, e possui rotacional nulo (∇ × F = 0).
Exemplo de campo vetorial conservativo:
Onde g é a aceleração da gravidade.
Exemplo de campo vetorial não conservativo:
Esse campo possui rotacional diferente de zero, portanto, não é conservativo.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do campo vetorial dado:
Calcule os seguintes limites:
Faça um esboço do campo vetorial dado:
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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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