Faça um esboço do campo vetorial dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço do campo vetorial dado por . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais, que são maneira de representar forças ou direções em cada ponto do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada vetor se comporta dependendo dos valores de e , e depois representar graficamente essas direções e magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor . Aqui, para qualquer ponto no plano, o vetor tem componentes na direção e iguais aos próprios valores de e . Ou seja, a direção e a magnitude do vetor dependem diretamente da posição no plano.

Passo 3

Agora, vamos analisar como esses vetores se comportam em diferentes regiões do plano:
  • Origem (0,0): Aqui, o vetor é um vetor nulo, ou seja, não tem direção nem magnitude.
  • Primeiro Quadrante (x > 0, y > 0): Os vetores apontam para cima e para a direita, aumentando de magnitude à medida que nos afastamos da origem.
  • Segundo Quadrante (x < 0, y > 0): Os vetores apontam para cima e para a esquerda, também aumentando de magnitude com a distância da origem.
  • Terceiro Quadrante (x < 0, y < 0): Os vetores apontam para baixo e para a esquerda, aumentando de magnitude à medida que nos afastamos.
  • Quarto Quadrante (x > 0, y < 0): Os vetores apontam para baixo e para a direita, com magnitudes maiores longe da origem.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos visualizar que todos os vetores começam na origem e apontam diretamente para fora, com direções que correspondem às coordenadas . A magnitude do vetor é igual à distância do ponto até a origem, já que:
Isso significa que quanto mais longe do centro, maior será o comprimento do vetor.

Passo 5

Para fazer o esboço, vamos desenhar o plano cartesiano e, em diversos pontos , desenhar vetores que partem da origem e vão até o ponto . Certifique-se de que a direção e o comprimento dos vetores correspondam às análises que fizemos nos diferentes quadrantes.

Resposta

O esboço do campo vetorial consiste em vetores que partem da origem e apontam diretamente para cada ponto no plano, com direções e magnitudes aumentando proporcionalmente à distância da origem. Visualmente, os vetores formam um padrão de espalhamento radial saindo do centro, ficando mais longos conforme nos afastamos da origem.

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Escreva a definição de campo vetorial conservativo. Apresente um exemplo de campo vetorial conservativo e um exemplo de campo vetorial que não é conservativo.
Faça um esboço do campo vetorial dado:
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