Calcule os seguintes limites: lim x -infty x^2+x+1(x+1)^5-x^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -infty x^2+x+1(x+1)^5-x^8
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, onde temos polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, vamos precisar analisar os termos de maior grau em cada polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador.
No numerador, temos:
x^2 + x + 1
O termo de maior grau é (x + 1)^5 - x^8 .
No denominador, temos:
x^5 - x^8
Vamos expandir apenas para identificar seu termo de maior grau. Quando expandimos , o termo de maior grau é . Então, o denominador fica:
Aqui, o termo de maior grau é .

Passo 3

Agora que identificamos os termos de maior grau, vamos simplificar a expressão focando nesses termos. Para isso, podemos reescrever o limite considerando apenas os termos principais:
lim x -infty x^2-x^8
Isso simplifica para:
lim x -infty -1x^6

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de -1x^6 0 quando tende a .
Sabemos que é sempre positivo, não importa se é positivo ou negativo, porque qualquer número par elevado a uma potência permanece positivo. Então, conforme tende a , tende a .
Portanto:

Resposta

O limite é igual a 0.

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