Seja F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial. Utilize o item (b) para mostrar que não existe G tal que Rot(G) = (y*z, -y^2*z, y*z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial e pede para usarmos o item (b) para mostrar que não existe um campo vetorial G tal que . Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl) de um campo vetorial, e algumas propriedades que ele possui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação do campo vetorial G em torno de cada ponto no espaço. Uma propriedade importante do rotacional é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras:
Isso quer dizer que se conseguirmos calcular a divergência do vetor que queremos obter como rotacional e encontrarmos um valor diferente de zero, já sabemos que tal campo G não pode existir.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do vetor . A divergência de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:

  1. Porque y z não depende de x, então a derivada em relação a x é zero.

  2. Derivando em relação a y, tratamos z como constante.

  3. Derivando y z em relação a z, tratamos y como constante.
Somando tudo:

Passo 5

Então, a divergência do vetor é:

Passo 6

Para que exista um campo vetorial G tal que , a divergência desse vetor deveria ser zero em todo o espaço. Ou seja, precisaríamos ter:

Passo 7

Vamos analisar quando . Isso ocorre quando:
  1. , ou
Isso significa que a divergência é zero apenas em planos específicos ( y = 0 ou ), mas não em todo o espaço.

Passo 8

Como a divergência do vetor não é zero em geral, concluímos, pela propriedade do rotacional, que não existe um campo vetorial G tal que .

Resposta

Não existe um campo vetorial G tal que porque a divergência desse vetor não é zero em todo o espaço.

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