Seja
um campo vetorial. Utilize o item (b) para mostrar que não existe
tal que
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial
e pede para usarmos o item (b) para mostrar que não existe um campo vetorial
tal que
. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl) de um campo vetorial, e algumas propriedades que ele possui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação do campo vetorial
em torno de cada ponto no espaço. Uma propriedade importante do rotacional é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras:
Isso quer dizer que se conseguirmos calcular a divergência do vetor que queremos obter como rotacional e encontrarmos um valor diferente de zero, já sabemos que tal campo
não pode existir.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do vetor
. A divergência de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
-
Porquenão depende de , então a derivada em relação a é zero. -
Derivandoem relação a , tratamos como constante. -
Derivandoem relação a , tratamos como constante.
Somando tudo:
Passo 5
Então, a divergência do vetor
é:
Passo 6
Para que exista um campo vetorial
tal que
, a divergência desse vetor deveria ser zero em todo o espaço. Ou seja, precisaríamos ter:
Passo 7
Vamos analisar quando
. Isso ocorre quando:
-
, ou -
Isso significa que a divergência é zero apenas em planos específicos (
ou
), mas não em todo o espaço.
Passo 8
Como a divergência do vetor
não é zero em geral, concluímos, pela propriedade do rotacional, que não existe um campo vetorial
tal que
.
Resposta
Não existe um campo vetorial
tal que
porque a divergência desse vetor não é zero em todo o espaço.
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5.
5.
Calcule os seguintes limites
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Seja
um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de
;