Seja um campo vetorial. Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial e pede para usarmos o item (b) para mostrar que não existe um campo vetorial tal que . Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl) de um campo vetorial, e algumas propriedades que ele possui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de cada ponto no espaço. Uma propriedade importante do rotacional é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras:
Isso quer dizer que se conseguirmos calcular a divergência do vetor que queremos obter como rotacional e encontrarmos um valor diferente de zero, já sabemos que tal campo não pode existir.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do vetor . A divergência de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:

  1. Porque não depende de , então a derivada em relação a é zero.

  2. Derivando em relação a , tratamos como constante.

  3. Derivando em relação a , tratamos como constante.
Somando tudo:

Passo 5

Então, a divergência do vetor é:

Passo 6

Para que exista um campo vetorial tal que , a divergência desse vetor deveria ser zero em todo o espaço. Ou seja, precisaríamos ter:

Passo 7

Vamos analisar quando . Isso ocorre quando:
  1. , ou
Isso significa que a divergência é zero apenas em planos específicos ( ou ), mas não em todo o espaço.

Passo 8

Como a divergência do vetor não é zero em geral, concluímos, pela propriedade do rotacional, que não existe um campo vetorial tal que .

Resposta

Não existe um campo vetorial tal que porque a divergência desse vetor não é zero em todo o espaço.

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