Seja
. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as retas que são tangentes ao gráfico da função
e que passam pelo ponto (0, 0). Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e usar equações de reta. Vamos precisar calcular a derivada de
, montar a equação da reta tangente e garantir que ela passe pelo ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da função. Para isso, vamos aplicar a regra do quociente:
A derivada de
, denotada por
, é:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação da reta tangente. A equação de uma reta que passa por um ponto
com inclinação
é dada por:
Mas no nosso caso, essa reta também precisa passar pelo ponto (0, 0). Vamos substituir
e
na equação da reta:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Explicando passo a passo:
- Expandir o lado esquerdo:
- Igualar ao lado direito:
- Trazer todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as soluções são:
Passo 6
Com os valores de
, vamos encontrar as equações das retas tangentes.
-
Para
: - Calculamos
: - Calculamos
: - A equação da reta:
- Calculamos
-
Para
: - Calculamos
: - Calculamos
: - A equação da reta:
- Calculamos
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto (0, 0) são:
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