Seja . Determine todas as retas tangentes ao gráfico de que passam pelo ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as retas que são tangentes ao gráfico da função e que passam pelo ponto (0, 0). Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e usar equações de reta. Vamos precisar calcular a derivada de , montar a equação da reta tangente e garantir que ela passe pelo ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Para isso, vamos aplicar a regra do quociente:
A derivada de , denotada por , é:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação da reta tangente. A equação de uma reta que passa por um ponto com inclinação é dada por:
Mas no nosso caso, essa reta também precisa passar pelo ponto (0, 0). Vamos substituir e na equação da reta:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos substituir e na equação :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Explicando passo a passo:
  1. Expandir o lado esquerdo:
  1. Igualar ao lado direito:
  1. Trazer todos os termos para o lado esquerdo:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:

Passo 6

Com os valores de , vamos encontrar as equações das retas tangentes.
  1. Para :
    • Calculamos :
    • Calculamos :
    • A equação da reta:
  2. Para :
    • Calculamos :
    • Calculamos :
    • A equação da reta:

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de que passam pelo ponto (0, 0) são:

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