Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t=tan (x2) : integral d x1-sin (x)+cos (x)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Substituição Universal . Esse método é útil para integrar funções trigonométricas transformando-as em funções racionais, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que ao usar a substituição sin(x) = 2t1 + t^2, cos(x) = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1 + t^2 , temos as seguintes identidades trigonométricas:

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integral dx1 - sin(x) + cos(x) = integral 2,dt1 + t^21 - 2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2

Passo 4

Vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
1 - 2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2 = (1 + t^2) - 2t + (1 - t^2)1 + t^2 = 2 - 2t1 + t^2

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 2,dt1 + t^22 - 2t1 + t^2 = integral 2,dt2 - 2t = integral dt1 - t

Passo 6

A integral -ln|1 - t| + C é uma integral básica que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos -ln|1 - tan(x2)| + C de volta na expressão:

Resposta

A integral -ln|1 - tan(x2)| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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