Calcule os seguintes limites: lim x -infty e^x cdot sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos lembrar que a função exponencial e a função seno têm comportamentos diferentes quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando tende a . A função exponencial decresce muito rapidamente e se aproxima de zero quando vai para menos infinito. Em outras palavras, .

Passo 3

Agora, vamos ver o que ocorre com quando tende a . A função seno é periódica e oscila entre e para todos os valores de . Isso significa que, independente do valor de , sempre estará dentro do intervalo .

Passo 4

Juntando as duas observações, temos que está se aproximando de zero e está oscilando entre e . Quando multiplicamos uma função que vai para zero por uma função que permanece limitada, o produto também vai para zero.

Passo 5

Matematicamente, isso é baseado no fato de que se |e^x cdot sen x| <= e^x cdot 1 = e^x e , então:
E como tende a zero, pelo “Teorema do Squeeze” (ou Teorema da Aperta), o limite do produto também tende a zero.

Resposta

limx -infty e^x cdot sen x = 0

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