Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos lembrar que a função exponencial
e a função seno
têm comportamentos diferentes quando
vai para menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
tende a
. A função exponencial
decresce muito rapidamente e se aproxima de zero quando
vai para menos infinito. Em outras palavras,
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que ocorre com
quando
tende a
. A função seno é periódica e oscila entre
e
para todos os valores de
. Isso significa que, independente do valor de
,
sempre estará dentro do intervalo
.
Passo 4
Juntando as duas observações, temos que
está se aproximando de zero e
está oscilando entre
e
. Quando multiplicamos uma função que vai para zero por uma função que permanece limitada, o produto também vai para zero.
Passo 5
Matematicamente, isso é baseado no fato de que se
e
, então:
E como
tende a zero, pelo “Teorema do Squeeze” (ou Teorema da Aperta), o limite do produto também tende a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Dada
, obtenha
são constantes
. (vale 2 pontos)
Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
e
, onde
é uma constante e
.