Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite dos quocientes
e
quando
e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar algumas regras básicas de álgebra.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro quociente:
. Isso representa a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, substituímos
na função dada:
Agora, subtraímos
dessa expressão:
Simplificando:
Então, o quociente fica:
Tomamos o limite quando
:
Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos resolver o segundo quociente:
. Isso representa a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, substituímos
na função dada:
Agora, subtraímos
dessa expressão:
Simplificando:
Então, o quociente fica:
Tomamos o limite quando
:
Portanto,
.
Resposta
As derivadas parciais são: