Encontre o limite dos quocientes f(x + Delta x, y) - f(x, y) / Delta x e f(x, y + Delta y) - f(x, y) / Delta y quando Delta x -> 0 e Delta y -> 0.
f(x, y) = 3x - xy - 2y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite dos quocientes e quando e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar algumas regras básicas de álgebra.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro quociente: . Isso representa a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, substituímos na função dada:
Agora, subtraímos dessa expressão:
Simplificando:
Então, o quociente fica:
Tomamos o limite quando :
Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos resolver o segundo quociente: . Isso representa a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, substituímos na função dada:
Agora, subtraímos dessa expressão:
Simplificando:
Então, o quociente fica:
Tomamos o limite quando :
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais são:

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