Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
e , onde é uma constante e .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que descreve como uma função se comporta ao longo do tempo. A equação é:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em álgebrais, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E como e , isso simplifica para:
Também sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Juntando os termos com :
Isolando :

Passo 4

Para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . A gente pode usar a técnica de frações parciais para quebrar essa expressão. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por e encontrando os valores de e , temos:
Para resolver, escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Contudo, de forma mais rápida, podemos identificar que:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:

Exercícios relacionados

Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis e
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que é par.