Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
e
, onde
é uma constante e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que descreve como uma função
se comporta ao longo do tempo. A equação é:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em álgebrais, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E como
e
, isso simplifica para:
Também sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Juntando os termos com
:
Isolando
:
Passo 4
Para achar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de
. A gente pode usar a técnica de frações parciais para quebrar essa expressão. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
e encontrando os valores de
e
, temos:
Para resolver, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação. Contudo, de forma mais rápida, podemos identificar que:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação é:
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Esboce as cruvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
(a) Para todo .
(b) Todas as letras da palavra © Para todo .
(d) Para todos pares, temos que
é par.
(a) Para todo
(b) Todas as letras da palavra © Para todo
(d) Para todos