Calcule os seguintes limites:
lim x -infty x-raizx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende a menos infinito de . Isso envolve limites no infinito e funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Quando tende a menos infinito, tanto quanto ficam muito grandes, mas de sinais opostos (porque é negativo). Isso pode complicar o cálculo direto do limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar e dividir a expressão por x - raizx^2 + 1 = (x - raizx^2 + 1)(x + raizx^2 + 1)x + raizx^2 + 1 , que é o conjugado de . Isso nos ajuda a eliminar a raiz no denominador.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o numerador:
(x - raizx^2 + 1)(x + raizx^2 + 1) = x^2 - (x^2 + 1) = -1
Então, a expressão fica:
-1x + raizx^2 + 1

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite dessa nova expressão:
limx to -infty -1x + raizx^2 + 1
Vamos analisar o denominador quando tende a menos infinito.

Passo 6

Quando x + raizx^2 + 1 approx x - x = 0 é muito grande e negativo, raizx^2 + 1 = |x| raiz1 + 1x^2 = -x raiz1 + 1x^2 é aproximadamente (porque é negativo). Então,
Mas precisamos ser mais precisos. Vamos fatorar de dentro da raiz:
Porque é negativo, .

Passo 7

Substituindo de volta no denominador:
x + raizx^2 + 1 = x - x raiz1 + 1x^2 = x (1 - raiz1 + 1x^2)
Quando tende a menos infinito, tende a zero, então .

Passo 8

Substituindo essa aproximação:
x (1 - (1 + 12x^2)) = x (-12x^2) = -12x
Então, o denominador é aproximadamente .

Passo 9

Voltando à expressão do limite:
limx to -infty -1-12x = limx to -infty 2x = -infty
Mas isso não faz sentido porque a nossa abordagem indica que a expressão converge para um valor finito.

Passo 10

Na verdade, houve um equívoco na aproximação. Vamos reconsiderar:
Para raizx^2 + 1 = -x raiz1 + 1x^2 approx -x (1 + 12x^2) = -x - 12x tendendo a menos infinito,
x - raizx^2 + 1 approx x - (-x - 12x) = 2x + 12x
Então,
Quando tende a menos infinito, tende a menos infinito, indicando que o limite também tende a menos infinito. No entanto, a questão original espera um valor finito, então precisamos revisar.

Passo 11

A abordagem correta é notar que:
x - raizx^2 + 1 = x^2 - (x^2 + 1)x + raizx^2 + 1 = -1x + raizx^2 + 1
E como vimos anteriormente,
x + raizx^2 + 1 approx -12x
Então,
-1-12x = 2x
Então, finalmente,
limx to -infty 2x = -infty

Resposta

O limite quando tende a menos infinito de é .

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