Esboce a curva definida pela função vetorial vec(r)(t).
vec(r)(t) = (t, t, t^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função vetorial que define uma curva no espaço tridimensional. A função é . Para esboçar essa curva, vamos precisar entender como cada componente da função varia com o parâmetro t e usar isso para desenhar o caminho no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial. A função está definida como onde:
Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto no espaço com coordenadas .

Passo 3

Vamos analisar como cada coordenada varia com t:
  • As coordenadas x e y são iguais e crescem linearmente com t. Isso indica que no plano xy, o movimento é ao longo da linha .
  • A coordenada z depende de t^2, ou seja, é uma parábola que abre para cima e deslocada 4 unidades para baixo.

Passo 4

Para entender melhor, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de t:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Plotando esses pontos no espaço 3D, percebemos que a curva forma uma parábola que se estende ao longo da linha no plano xy e varia na direção z de acordo com .

Passo 6

Para esboçar a curva, imagine a linha no plano xy. Ao longo dessa linha, a coordenada z varia formando uma parábola que abre para cima, com o vértice na posição onde (quando ). Conforme t aumenta ou diminui, a curva sobe na direção z novamente passando por nos pontos onde e .

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma parábola que se estende ao longo da linha no plano xy e varia na direção z conforme uma parábola . O esboço dessa curva mostra uma parábola tridimensional com vértice no ponto e abrindo para cima ao longo da linha .

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