Esboce a curva definida pela função vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função vetorial que define uma curva no espaço tridimensional. A função é
. Para esboçar essa curva, vamos precisar entender como cada componente da função varia com o parâmetro
e usar isso para desenhar o caminho no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial. A função está definida como
onde:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto no espaço com coordenadas
.
Passo 3
Vamos analisar como cada coordenada varia com
:
- As coordenadas
e são iguais e crescem linearmente com . Isso indica que no plano , o movimento é ao longo da linha . - A coordenada
depende de , ou seja, é uma parábola que abre para cima e deslocada 4 unidades para baixo.
Passo 4
Para entender melhor, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Plotando esses pontos no espaço 3D, percebemos que a curva forma uma parábola que se estende ao longo da linha
no plano
e varia na direção
de acordo com
.
Passo 6
Para esboçar a curva, imagine a linha
no plano
. Ao longo dessa linha, a coordenada
varia formando uma parábola que abre para cima, com o vértice na posição onde
(quando
). Conforme
aumenta ou diminui, a curva sobe na direção
novamente passando por
nos pontos onde
e
.
Resposta
A curva definida pela função vetorial
é uma parábola que se estende ao longo da linha
no plano
e varia na direção
conforme uma parábola
. O esboço dessa curva mostra uma parábola tridimensional com vértice no ponto
e abrindo para cima ao longo da linha
.