Verifique se as funções vetoriais abaixo são contínuas no ponto t0 indicado.
r(t) = (sen(t), cos(t), 1), t0 = pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função vetorial é contínua no ponto . Isso envolve entender o que significa uma função vetorial ser contínua e quais propriedades precisamos usar para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. No caso de funções vetoriais, verificamos isso para cada componente da função.

Passo 3

Nossa função vetorial tem três componentes:
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas componentes em .

Passo 4

Primeira componente: .
Sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos, incluindo . Então:

Passo 5

Segunda componente: .
A função cosseno também é contínua em todos os pontos. Assim:

Passo 6

Terceira componente: .
Essa é uma função constante, e funções constantes são contínuas em todo lugar. Portanto:

Passo 7

Como todas as componentes , e são contínuas em , a função vetorial também é contínua nesse ponto.

Resposta

A função vetorial é contínua no ponto .

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