Verifique se as funções vetoriais abaixo são contínuas no ponto
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função vetorial é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que significa uma função vetorial ser contínua e quais propriedades precisamos usar para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. No caso de funções vetoriais, verificamos isso para cada componente da função.
Passo 3
Nossa função vetorial
tem três componentes:
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas componentes em
.
Passo 4
Primeira componente: .
Sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos, incluindo . Então:
Sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos, incluindo
Passo 5
Segunda componente:
.
A função cosseno também é contínua em todos os pontos. Assim:
A função cosseno também é contínua em todos os pontos. Assim:
Passo 6
Terceira componente:
.
Essa é uma função constante, e funções constantes são contínuas em todo lugar. Portanto:
Essa é uma função constante, e funções constantes são contínuas em todo lugar. Portanto:
Passo 7
Como todas as componentes ,
e
são contínuas em
, a função vetorial
também é contínua nesse ponto.
Resposta
A função vetorial é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Esboce a curva definida pela função vetorial
.
Calcule os limites:
Resolva os exercícios a seguir: