Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai trabalhar com cálculo de limites, especificamente usando propriedades de limites no infinito e funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando seu argumento tá bem pequenininho e como multiplicar isso por um valor que vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
tende para o infinito. Se a gente tem:
Ou seja, o ângulo dentro do seno está se aproximando de zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores bem pequenos de
, o seno de
é aproximadamente igual a
. Essa é uma aproximação muito útil na matemática e pode ser escrita como:
Então, aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa expressão original:
Aí, simplificando:
Passo 5
Portanto, conforme
vai para o infinito, a expressão se aproxima de 3.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Use diferenciais para estimar
e sen59
.
Esboce o gráfico de senh, cosh e tgh.
Encontre o diferencial
e calcule
para os valores de
e
dados:
e
.