Use diferenciais para estimar
e sen59
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para usar diferenciais para estimar dois valores: a raiz quadrada de 36,1 e o seno de 59 graus. Vamos precisar usar o conceito de diferenciais da matemática, que é uma ferramenta que ajuda a aproximar valores de funções quando a gente faz pequenas mudanças nas variáveis.
Passo 2
Vamos começar estimando
. Primeiro, escolhemos um valor próximo para facilitar os cálculos. Sabemos que
.
A função que estamos lidando é
. A derivada dessa função é
. Isso nos ajuda a entender como a função muda quando x muda um pouquinho.
Aqui,
e
. Então, usando a aproximação linear:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos estimar . Para facilitar, vamos usar um ângulo que a gente conhece bem, como 60°, onde .
A função aqui é . A derivada dessa função é
.
Vamos considerar
e um pequeno ajuste de
(já que queremos 59°). Mas precisamos converter os graus em radianos para usar na fórmula:
Usando a aproximação linear:
Substituindo os valores:
Resposta
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a) Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que
é uma função constante.
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: