Calcule os seguintes limites: lim x -infty (3 x+2)^32 x(3 x+1)(4 x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty (3 x+2)^32 x(3 x+1)(4 x-1). Aqui, a gente está lidando com limites no infinito envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e denominador, já que eles dominam o comportamento da função quando x vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (3x + 2)^3. Usando a fórmula do cubo da soma, temos:
(3x + 2)^3 = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8
Mas, como x está indo para menos infinito, os termos de menor grau vão se tornar insignificantes. Então, podemos considerar apenas o termo de maior grau: 27x^3.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador 2x(3x + 1)(4x - 1). Primeiro, multiplicamos as duas últimas expressões:
(3x + 1)(4x - 1) = 12x^2 - 3x + 4x -1 = 12x^2 + x -1
Novamente, focando no termo de maior grau, temos 12x^2. Multiplicando pelo 2x, o denominador fica aproximadamente 2x cdot 12x^2 = 24x^3.

Passo 4

Agora, substituímos os termos de maior grau no numerador e no denominador na expressão original:
lim x -infty 27x^324x^3
Aqui, os x^3 se cancelam, ficando:
2724 = 98

Resposta

O limite é 98.

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