Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função é contínua. Estamos lidando com funções por partes, então vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em pontos específicos onde a definição da função muda.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa lembrar o que é uma função contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se três condições forem verdadeiras:
A função está definida em .
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
Isso quer dizer que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.
Passo 3
Nossa função é definida por três partes, dependendo de :
Como cada pedaço é uma função polinomial ou linear, que são contínuas por natureza, a gente só precisa verificar a continuidade nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e .
Passo 4
Vamos começar verificando a continuidade em .
Valor da função em :
Limite pela esquerda ():
Já que para , , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Limite pela direita ():
Para , , então:
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são todos iguais a 1, a função é contínua em .
Passo 5
Agora vamos verificar a continuidade em .
Valor da função em :
Limite pela esquerda ():
Para , , então:
Limite pela direita ():
Para , , então:
Aqui, o limite pela esquerda é e o limite pela direita é . Esses limites não são iguais, o que significa que a função tem um “salto” em .
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, exceto no ponto , onde ela apresenta uma descontinuidade do tipo salto.