Verifique se as seguintes funções são contínuas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função é contínua. Estamos lidando com funções por partes, então vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em pontos específicos onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa lembrar o que é uma função contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
Isso quer dizer que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.

Passo 3

Nossa função é definida por três partes, dependendo de :
Como cada pedaço é uma função polinomial ou linear, que são contínuas por natureza, a gente só precisa verificar a continuidade nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e .

Passo 4

Vamos começar verificando a continuidade em .
  1. Valor da função em :
  1. Limite pela esquerda ( ):
    Já que para , , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
  1. Limite pela direita ( ):
    Para , , então:
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são todos iguais a 1, a função é contínua em .

Passo 5

Agora vamos verificar a continuidade em .
  1. Valor da função em :
  1. Limite pela esquerda ( ):
    Para , , então:
  1. Limite pela direita ( ):
    Para , , então:
Aqui, o limite pela esquerda é e o limite pela direita é . Esses limites não são iguais, o que significa que a função tem um “salto” em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto no ponto , onde ela apresenta uma descontinuidade do tipo salto.

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes funções são contínuas:
Calcule os seguintes limites:
Determine de forma que a função
seja contínua em .
Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: , .