a) Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que
é uma função constante.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde temos uma função derivável
com a derivada
para todo
. Nosso objetivo é mostrar, usando o Teorema do Valor Médio, que
é uma função constante. Para isso, vamos precisar entender o que o Teorema do Valor Médio diz e como ele pode ser aplicado quando a derivada de uma função é zero em todo o seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
onde:
Isso significa que a variação da função entre
e
é igual à derivada em algum ponto
multiplicada pela distância entre
e
.
Passo 3
Agora, como nossa função
tem
para todo
, podemos aplicar o TVM no intervalo
. Segundo o TVM, existe um ponto
tal que:
Mas sabemos que
, então:
Passo 4
A equação
implica que:
Isso mostra que o valor de
é o mesmo em qualquer par de pontos
e
no domínio. Como
e
são quaisquer números reais, isso significa que
não muda de valor em qualquer intervalo, ou seja,
é constante em todo
.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que
é uma função constante em
.
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Calcule os seguintes limites:
Use diferenciais para estimar
e sen59
.