a) Seja uma função derivável tal que para todo . Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que é uma função constante.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos uma função derivável com a derivada para todo . Nosso objetivo é mostrar, usando o Teorema do Valor Médio, que é uma função constante. Para isso, vamos precisar entender o que o Teorema do Valor Médio diz e como ele pode ser aplicado quando a derivada de uma função é zero em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto onde:
Isso significa que a variação da função entre e é igual à derivada em algum ponto multiplicada pela distância entre e .

Passo 3

Agora, como nossa função tem para todo , podemos aplicar o TVM no intervalo . Segundo o TVM, existe um ponto tal que:
Mas sabemos que , então:

Passo 4

A equação implica que:
Isso mostra que o valor de é o mesmo em qualquer par de pontos e no domínio. Como e são quaisquer números reais, isso significa que não muda de valor em qualquer intervalo, ou seja, é constante em todo .

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que é uma função constante em .

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