a) Seja f: R -> R uma função derivável tal que f'(x) = 0 para todo x em R. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que f é uma função constante.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos uma função derivável f: R -> R com a derivada para todo x em R. Nosso objetivo é mostrar, usando o Teorema do Valor Médio, que f é uma função constante. Para isso, vamos precisar entender o que o Teorema do Valor Médio diz e como ele pode ser aplicado quando a derivada de uma função é zero em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto onde:
Isso significa que a variação da função entre a e b é igual à derivada em algum ponto c multiplicada pela distância entre a e b.

Passo 3

Agora, como nossa função f tem para todo x em R, podemos aplicar o TVM no intervalo [a, b]. Segundo o TVM, existe um ponto tal que:
Mas sabemos que , então:

Passo 4

A equação implica que:
Isso mostra que o valor de f é o mesmo em qualquer par de pontos a e b no domínio. Como a e b são quaisquer números reais, isso significa que f não muda de valor em qualquer intervalo, ou seja, f é constante em todo R.

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que f é uma função constante em R.

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