Calcule os seguintes limites: lim x 1 x^n-1x-1

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e limites.

Passo 2

Primeiro, substituindo 1^n - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão, temos:
Essa forma é conhecida como uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1) . Existe uma identidade algébrica que diz:
Essa fatoração ajuda a cancelar o termo que está no denominador.

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
x^n - 1x - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1)x - 1
Agora, podemos cancelar o (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1)x - 1 = x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo 1^n-1 + 1^n-2 + dots + 1 + 1 = 1 + 1 + dots + 1 :
n
Como há termos de 1 somados, o resultado é:

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados