Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto
. A função é uma função por partes, ou seja, ela tem definições diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e como lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos verificar a continuidade dessa função no ponto
.
Passo 3
Continuidades em um ponto exigem que três condições sejam atendidas:
- A função está definida no ponto.
- O limite da função quando
se aproxima do ponto existe. - O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 4
1. A função está definida no ponto
?
Olha a definição da função. Para
, a função é
. Como
, podemos usar essa parte da função:
Então, a função está definida em
e
.
Passo 5
2. O limite da função quando
se aproxima de 1 existe?
Como estamos lidando com
e
define a função como
, que é uma função polinomial contínua, o limite quando
se aproxima de 1 é simplesmente
.
Matematicamente:
Passo 6
3. O limite da função é igual ao valor da função no ponto?
Comparando os resultados:
Como os dois valores são iguais, a terceira condição para continuidade é satisfeita.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função real contínua, definida em torno do ponto
, tal que
, para
. Calcule o valor de
.
Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
no ponto
.
Calcule os seguintes limites:
Em cada caso, calcule o limite: