Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
f(x) = { x^2, se x >= -1; 1 - |x|, se x <= -1 } no ponto x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto . A função é uma função por partes, ou seja, ela tem definições diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos verificar a continuidade dessa função no ponto .

Passo 3

Continuidades em um ponto exigem que três condições sejam atendidas:
  1. A função está definida no ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima do ponto existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 4

1. A função está definida no ponto ?
Olha a definição da função. Para , a função é . Como , podemos usar essa parte da função:
Então, a função está definida em e .

Passo 5

2. O limite da função quando se aproxima de 1 existe?
Como estamos lidando com e define a função como , que é uma função polinomial contínua, o limite quando se aproxima de 1 é simplesmente .
Matematicamente:

Passo 6

3. O limite da função é igual ao valor da função no ponto?
Comparando os resultados:
Como os dois valores são iguais, a terceira condição para continuidade é satisfeita.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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