Calcule os seguintes limites
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função exponencial
conforme
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, observamos que o numerador da fração é a diferença de
e
. Queremos entender como essa diferença se comporta quando
está muito próximo de
.
Passo 3
Vamos reescrever o numerador usando propriedades de exponenciais. Sabemos que
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão no limite:
Aqui, tiramos
da fração porque é uma constante em relação a
.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja
. Quando
,
. Assim, o limite fica:
Passo 6
Conhecemos um limite fundamental em cálculo:
Isso porque a função exponencial cresce de maneira que essa razão se aproxima de 1 quando
tende a zero.
Passo 7
Aplicando esse resultado ao nosso limite:
Resposta
O limite é igual a
.