Calcule os seguintes limites

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função exponencial conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, observamos que o numerador da fração é a diferença de e . Queremos entender como essa diferença se comporta quando está muito próximo de .

Passo 3

Vamos reescrever o numerador usando propriedades de exponenciais. Sabemos que . Assim, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no limite:
Aqui, tiramos da fração porque é uma constante em relação a .

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja . Quando , . Assim, o limite fica:

Passo 6

Conhecemos um limite fundamental em cálculo:
Isso porque a função exponencial cresce de maneira que essa razão se aproxima de 1 quando tende a zero.

Passo 7

Aplicando esse resultado ao nosso limite:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a função . Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f na região D , sendo D a região triangular fechada no planp xy com vértices , e .
Para quais valores da constante , a função dada por seja contínua em .
(1,5) Uma função é tal que, . Determine , justificando sua resposta.