(1,5) Calcule os seguintes limites
lim x p e^x-e^px-p

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função exponencial conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, observamos que o numerador da fração é a diferença de e . Queremos entender como essa diferença se comporta quando está muito próximo de .

Passo 3

Vamos reescrever o numerador usando propriedades de exponenciais. Sabemos que e^x - e^p = e^p cdot e^x - p - e^p = e^p (e^x - p - 1) . Assim, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no limite:
limx p e^x - e^px - p = limx p e^p (e^x - p - 1)x - p = e^p cdot limx p e^x - p - 1x - p
Aqui, tiramos da fração porque é uma constante em relação a .

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja e^p cdot limh 0 e^h - 1h . Quando , . Assim, o limite fica:

Passo 6

Conhecemos um limite fundamental em cálculo:
limh 0 e^h - 1h = 1
Isso porque a função exponencial cresce de maneira que essa razão se aproxima de 1 quando tende a zero.

Passo 7

Aplicando esse resultado ao nosso limite:
e^p cdot 1 = e^p

Resposta

O limite é igual a .

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