Considere a função
. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f na região D , sendo D a região triangular fechada no planp xy com vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir os valores máximos e mínimos dessa função dentro de uma região triangular D. Essa região D é um triângulo no plano xy com vértices em (0,0), (0,6) e (6,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região D. Para isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualar a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
→
Vamos analisar cada caso na equação (2):
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Substituindo na equação (2):
Tudo se anula, mas isso nos leva à linha
, que já é a fronteira do triângulo. Portanto, não há pontos críticos internos nesse caso.
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Substituindo na equação (2):
Vamos simplificar:
Fatorando:
Então,
ou
.
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Para
:
Para
:
O ponto
está na fronteira, então o único ponto crítico interno é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos internos e também nas fronteiras do triângulo para encontrar os máximos e mínimos absolutos.
Ponto interno:
Fronteiras:
- Aresta entre (0,0) e (0,6): Aqui,
.
Portanto, todos os pontos nessa aresta têm valor 0.
- Aresta entre (0,0) e (6,0): Aqui,
.
Todos os pontos nessa aresta também têm valor 0.
- Aresta entre (0,6) e (6,0): Nessa aresta, podemos expressar
.
Substituindo na função:
Vamos simplificar e derivar para encontrar os extremos:
Após simplificação e cálculo, descobrimos que o valor máximo nessa aresta ocorre em , onde:
Após simplificação e cálculo, descobrimos que o valor máximo nessa aresta ocorre em
E:
Resposta
O valor máximo absoluto de
na região D é 4, atingido no ponto
, e o valor mínimo absoluto é -54, atingido no ponto
.
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