(1,5) Uma função é tal que, . Determine , justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que, para todo no intervalo a , está entre e . Nosso objetivo é descobrir qual é o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche, que ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de cada uma das funções que limitam conforme se aproxima de 0.
1. Calculando :
Sabemos que, para valores pequenos de , a expansão da série de Taylor para é:
Portanto:
Dividindo por :
Quando se aproxima de 0, os termos com e superiores desaparecem, ficando:
2. Calculando :
Usando a propriedade que , fazemos a substituição , então quando , . Assim:
Portanto:

Passo 3

Agora que sabemos que tanto o limite inferior quanto o limite superior de quando tende a 0 são iguais a , podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se e , então .
No nosso caso:
E ambos os limites laterais são . Portanto, concluímos que:

Resposta

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Para quais valores da constante , a função dada por seja contínua em .
Calcule os seguintes limites
Determine se é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b) Resp: não conservativo
(a) Considere a funçāo
Determine e represente o domínio no plano cartesiano.