(1,5) Uma função g: R R é tal que, forall x in(-pi, pi), 1-cos xx^2. Determine lim x 0 g(x), justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que, para todo no intervalo a , está entre e . Nosso objetivo é descobrir qual é o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche, que ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de cada uma das funções que limitam cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots conforme 1 - cos x = x^22 - x^424 + dots se aproxima de 0.
1. Calculando 1 - cos xx^2 = 12 - x^224 + dots :
Sabemos que, para valores pequenos de limx to 0 1 - cos xx^2 = 12 , a expansão da série de Taylor para sin (x2)x = 12 cdot sin yy é:
limx to 0 sin (x2)x = 12 cdot 1 = 12
Portanto:
Dividindo por :
Quando se aproxima de 0, os termos com e superiores desaparecem, ficando:
2. Calculando :
Usando a propriedade que , fazemos a substituição , então quando , . Assim:
Portanto:

Passo 3

Agora que sabemos que tanto o limite inferior quanto o limite superior de 1 - cos xx^2 < g(x) < sin (x2)x quando tende a 0 são iguais a , podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se e , então .
No nosso caso:
E ambos os limites laterais são . Portanto, concluímos que:

Resposta

limx to 0 g(x) = 12

Exercícios relacionados