(1,5) Uma função
é tal que,
. Determine
, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que, para todo
no intervalo
a
, está entre
e
. Nosso objetivo é descobrir qual é o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche, que ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de cada uma das funções que limitam
conforme
se aproxima de 0.
1. Calculando
:
Sabemos que, para valores pequenos de
, a expansão da série de Taylor para
é:
Portanto:
Dividindo por
:
Quando
se aproxima de 0, os termos com
e superiores desaparecem, ficando:
2. Calculando
:
Usando a propriedade que
, fazemos a substituição
, então quando
,
. Assim:
Portanto:
Passo 3
Agora que sabemos que tanto o limite inferior quanto o limite superior de
quando
tende a 0 são iguais a
, podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se
e
, então
.
No nosso caso:
E ambos os limites laterais são
. Portanto, concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b) Resp: não conservativo
(b)
(a) Considere a funçāo
Determine e represente o domínio
no plano cartesiano.