Para quais valores da constante , a função dada por seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores da constante que tornam a função contínua em todos os números reais. Isso envolve o estudo de continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e igualar os limites da função pelos dois lados do ponto onde a função muda de expressão, que no caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde a função muda de fórmula, que é em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em . Como está na parte onde , usamos a segunda expressão da função:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Usamos a primeira expressão da função:

Passo 5

Para garantir a continuidade em , esse limite deve ser igual ao valor da função em . Portanto:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O valor da constante que torna a função contínua em é .

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Considere a função . Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f na região D , sendo D a região triangular fechada no planp xy com vértices , e .
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Determine se é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b) Resp: não conservativo