Para quais valores da constante
, a função
dada por
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores da constante
que tornam a função
contínua em todos os números reais. Isso envolve o estudo de continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e igualar os limites da função pelos dois lados do ponto onde a função muda de expressão, que no caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto onde a função muda de fórmula, que é em
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
. Como
está na parte onde
, usamos a segunda expressão da função:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
). Usamos a primeira expressão da função:
Passo 5
Para garantir a continuidade em
, esse limite deve ser igual ao valor da função em
. Portanto:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Resposta
O valor da constante
que torna a função
contínua em
é
.