Calcule os seguintes limites:
lim x pi4 sen x-cos x1-tan x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso faz parte do conteúdo de limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões trigonométricas e aplicar a regra de L’Hospital caso necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sen (pi4) - cos (pi4)1 - tan (pi4) na expressão para ver o que acontece:
Sabemos que e raiz22 - raiz221 - 1 = 00 , então:
Isso resulta em uma indeterminação do tipo , então precisamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se o limite resulta em ddx (sen x - cos x) = cos x + sen x ou ddx (1 - tan x) = -sec^2 x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos derivar:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos essas derivadas no limite:
Simplificando limx pi4 cos x + sen x- sec^2 x , temos:

Passo 5

Agora, substituímos - (raiz22 + raiz22) (raiz22)^2 = - (raiz2) (24) = - raiz2 (12) = -raiz22 :

Resposta

-raiz22

Exercícios relacionados