Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
f) derivada de f(x)=x^4 no ponto a=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto usando o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de derivadas, onde usamos o limite para descobrir a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do quociente de Newton para calcular a derivada:
f^prime(a) = lim h 0 f(a+h) - f(a)h
Aqui, significa a função avaliada em , e é a função avaliada em . O é um pequeno incremento que tende a zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função no ponto :
  1. Calcular :
  2. Calcular :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do quociente de Newton:
f^prime(0) = lim h 0 h^4 - 0h = lim h 0 h^3

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite:
lim h 0 h^3 = 0
Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero.

Resposta

A derivada de no ponto é .

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